Una misteriosa suma (acertijo matemático para septiembre)

Se trata de sustituir las letras por dígitos en la siguiente suma, de manera que ésta se cumpla:

.                                                          X M A

.                                                       +  X X A

.                                                          M X X

(A igual letra le corresponde igual dígito).

Fuente: Juegos para devanarse los sesos; Eric Emmet.

(Daremos la solución a través de un comentario en esta publicación a final de mes)

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Dominó

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Existe una notoria relación entre el juego del dominó y las matemáticas.

Hace poco tiempo, descubrí un juego de dominó con 91 fichas. Normalmente, he jugado y visto jugar con conjuntos de 28 fichas que terminaban en el seis doble (6-6), así que me sorprendió un poco tal extrapolación de fichas hasta llegar a 91, cuya pieza más alta es el doce doble (12-12). Comencé a investigar las formas y reglas de juego para tal cantidad de piezas, el número de jugadores que podían participar, etc…

Normalmente, en España se juega con 28 fichas, tomando cada jugador siete de ellas al principio (ya sean cuatro jugadores o menos) y robando el resto a medida que la partida transcurre. En Cuba, hay zonas donde se juega con 55 fichas (hasta el 9-9), tomando diez cada jugador y quedando quince “dormidas” sin entrar en el juego. En otros lugares de América del Sur y Asia, se juega con fichas hasta el doce doble. Por otro lado, investigando en internet, he llegado a ver cajas de fichas de dominó que llegan hasta el 15-15 (que tendría 136 fichas)  e incluso hasta el 18-18 (que tendría 190 fichas).

Tren mexicano

Tren mexicano

Cubano 18 doble

Cubano 18 doble

Quince doble

Quince doble

Las modalidades de juego son muy variadas, siendo posible modificar las normas para crear prácticamente un número infinito de nuevos juegos de dominó, cambiando el número de fichas iniciales por jugador, las que pueden robarse, si queda alguna ficha oculta sin entrar en el juego o el número más alto de ficha con el que se juega. No obstante, pueden obtenerse reglas más o menos consensuadas para el juego (muy diversas) con tan solo investigar un poco en la red. Algunas formas muy curiosas son con el 15-15 en México, donde aparecen incluso hechizos, o con el 12-12, que se juega al tren mexicano. Muy popular en la zona occidental de la isla es el dominó cubano, donde, de las 55 fichas (se juega con el nueve doble), 15 quedan durmiendo cada ronda.

Pero hagamos un poco de matemáticas:

En particular, un juego de dominó que llegue hasta el seis doble (6-6), constará de 28 fichas, cuya suma de puntos da un total de 168 puntos. En principio, pueden jugar 4 jugadores tomando inicialmente 7 fichas cada uno.

Generalizando para cualquier tipo de dominó, es decir, que su ficha más alta sea la n doble (n-n) y que, a partir de ahora, denominaremos dominó hasta la “n”, podemos enumerar algunas consecuencias (hay que tener en cuenta que podría hablarse de un dominó de una ficha, la del cero doble; n = 0):

Resulta que solamente puede cerrarse a un número cuando n es par, ya que si n es impar, hay que colocar todas las fichas de dos números para poder cerrar el juego. Esto se debe a que habrá un número par de fichas para un número dado, contando con la ficha doble, por lo que una de las fichas que no son dobles quedará siempre sin emparejar.

Por otro lado, el número de fichas con el que contará el dominó será Fn = (n+1)·(n+2)/2, que es la suma de la progresión aritmética formada por los números naturales hasta el n, y que forman una sucesión de números conocidos como números pitagóricos triangulares (que aparecen también en el problema de los pájaros, publicado en un post anterior en este mismo blog), cuyos primeros términos son 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66… Para el dominó del 12, tendríamos 91 fichas; para el del 15, 136 fichas; y para el del 18, un total de 190.

Calculando la suma de todos los puntos, tendríamos Sn = n·(n+1)·(n+2)/2, que también puede expresarse como Sn = n·Fn, o sea, la multiplicación del número del dominó por el número de fichas que éste posee. Los valores respectivos para los dominós del 6, 9, 12, 15 y 18 serían: 168, 495, 1092, 2040 y 3420.IMG_2497

En cuanto a “dominós exactos”, que serían aquellos en los cuales quedan repartidas todas las fichas, sin tener que dejar para robar o dormidas, realicé una pequeña tabla con la siguiente nomenclatura: D(j,n,F), siendo j el número de jugadores, n la ficha más alta y F el número de fichas a tomar por cada jugador al principio del juego (valores para n comprendidos entre 6 y 12, ya que es el juego del cual dispongo y dominós por debajo del 6 son demasiado triviales):

D(4,6,7), D(2,6,14), D(4,7,9), D(3,7,12), D(2,7,18), D(5,8,9), D(3,8,15), D(5,9,11), D(6,10,11), D(6,11,13), D(7,12,13), D(13,12,7).

Y, quizá lo más importante, el hecho de que jugar al dominó estimula la mente mediante razonamientos, suposiciones, memoria, agilidad mental, cálculos probabilísticos e imaginación, lo cual, a largo plazo, conseguirá que nuestro cerebro esté activo, algo muy positivo a corto y largo plazo. Una verdadera gimnasia interior.