Los 4 cuatros

Un libro del que ya he hablado en este blog y que considero bastante educativo es «El hombre que calculaba». En sus páginas ofrece una gran variedad de acertijos y juegos de índole matemática, introducidos y narrados al estilo de un cuento árabe, lo que le convierte en un libro muy entretenido.

Uno de los acertijos que me llamó la atención durante una de sus lecturas (lo he utilizado a veces en clase con el alumnado), es el caso de los cuatro cuatros. Se plantea la obtención de cualquier número natural utilizando 4 cuatros en la manera que sea conveniente (colocación y operaciones). Lo cierto es que se pueden conseguir bastantes números usando 4 cuatros pero, ¿se podrá obtener cualquiera de ellos?

La historia está narrada de la siguiente manera:

«Beremiz se sintió atraído por un elegante y delicado turbante azul claro que ofrecía un sirio medio corcovado por 4 dinares. La tienda de este mercader era además muy original, pues todo allí -turbantes, cajas, puñales, pulseras, etc,- era vendido a 4 dinares. Había un letrero que decía con vistosas letras:

∼ LOS CUATRO CUATROS ∼

Al ver que Beremiz estaba interesado en comprar el turbante, le dije:

– Creo que ese lujo es una locura. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la hostería.

– No me interesa el turbante -respondió Beremiz-. Fíjate en que esta tienda se llama «los cuatro cuatros». Es una coincidencia digna de la mayor atención.

– ¿Coincidencia? ¿Por qué?

– La escritura de ese cartel recuerda una de las maravillas del Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera…

Antes de que le preguntara sobre el enigma, Beremiz explicó mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:

– ¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir: 44 – 44. Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual a cero.

Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44/44. Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y este cociente es 1.

¿Quieres ver ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los cuatro cuatros y escribir: 4/4 + 4/4. La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es más fácil. Basta escribir la expresión: (4 + 4 + 4)/4. Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.

– ¿Y cómo vas a formar el número 4? -le pregunté.

– Nada más sencillo -explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de varias maneras. He ahí una expresión equivalente a 4: 4 + (4 – 4)/4. Observa que el segundo término es nulo y que la suma 4 + 0 es igual a 4.

Observé que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.

Beremiz prosiguió:

– Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad. Escribiremos: (4·4 + 4)/4. Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.

Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante: (4 + 4)/4 + 4. Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al resultado 7: 44/4 – 4.

Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8 escrito con cuatro cuatros: 4 + 4 + 4 – 4.

El número 9 también es interesante: 4 + 4 + 4/4

Te mostraré ahora una expresión muy bella, igual a 10, formada con cuatro cuatros: (44 – 4)/4.

Aquí, el jorobado, dueño de la tienda, que había seguido las explicaciones de Beremiz con un silencio respetuoso, observó:

– Por lo que termino de oír, el señor es un eximio matemático. Si el señor es capaz de explicarme cierto enigma que hace dos años hallé en una suma, puedo obsequiarle el turbante azul que quería comprarme. Y el mercader narró la siguiente historia:…»

Fuente: El hombre que calculaba; Malba Tahan.

Una tarde de verano me dediqué a comprobar si podía obtener los 100 primeros números naturales (aunque es obvio que los hay mucho mayores o incluso enteros, racionales e irracionales), que ya no aparecen en la historia, y conseguí los que expongo a continuación:

11 = (4! + 4)/4 + 4

12 = (4 – 4/4)·4

13 = 4! – 44/4

14 = 4!/4 + 4 + 4

15 = 4·4 – 4/4

16 = 4 + 4 + 4 + 4

17 = 4·4 + 4/4

18 = (4! + 4! + 4!)/4

19 = 4! – 4 – 4/4

20 = (4 + 4/4)·4

21 = 4! – 4 + 4/4

22 = 4! – (4 + 4)/4

23 = (4·4! – 4)/4

24 = 4·4 + 4 + 4

25 = (4·4! + 4)/4

26 = 4! + (4 + 4)/4

27 = 4! + 4 – 4/4

28 = 44 – 4·4

29 = 4! + 4 + 4/4

30 = (4 + 4/4)!/4

31 = 4! + (4! + 4)/4

32 = 4·4 + 4·4

33 =

34 = 4! + 4!/4 + 4

35 = 4! + 44/4

36 = 44 – 4 – 4

37 =

38 = 44 – 4!/4

39 =

40 = 4! + 4! – 4 – 4

41 =

42 = 4! + 4! – 4!/4

43 = 44 – 4/4

44 = 44 + 4 – 4

45 = 44 + 4/4

46 = (√4)·(4! – 4/4)

47 = 4! + 4! – 4/4

48 = (4·4 – 4)·4

49 = 4! + 4! + 4/4

50 = 44 + 4!/4

51 =

52 = 44 + 4 + 4

53 =

54 = 4! + 4! + 4!/4

55 =

56 = 4! + 4·(4 + 4)

57 =

58 = (4^4 – 4!)/4

59 =

60 = 4·4·4 – 4

61 =

62 = 4·4·4 – √4

63 = (4^4 – 4)/4

64 = 4^(4 – 4/4)

65 = (4^4 + 4)/4

66 = 4·4·4 + √4

67 =

68 = (4^4)/4 + 4

69 =

70 = (4^4 + 4!)/4

71 =

72 = (4 – 4/4)·4!

73 =

74 = 4! + 4! + 4! + √4

75 =

76 = 4·(4! – 4) – 4

77 =

78 = 4·(4! – 4) – √4

79 =

80 = 4·4! – 4·4

81 = (4 – 4/4)^4

82 = 4·(4! – 4) + √4

83 =

84 = 4·(4! – 4) + 4

85 =

86 = 4·(4! – √4) – √4

87 =

88 = 4·4! – 4 – 4

89 =

90 = 4·4! – 4!/4

91 =

92 = 4·(4! – 4/4)

93 =

94 = 4·4! – 4/√4

95 = 4·4! – 4/4

96 = 4·4! + 4 – 4

97 = 4·4! + 4/4

98 = 4·4! + 4/√4

99 =

100 = (4! + 4/4)·4

….    ….    ….    ….

Así pues, el reto está planteado. Si alguien se anima a participar, la ronda de comentarios está abierta.

(Advertencia: la búsqueda podría resultar «infinita»)

Crucigrama numérico

Se trata de rellenar cada casilla con una cifra, no habiendo ceros en el crucigrama.

crucigrama

Instrucciones:

Horizontal:

1. Es un factor de 5-horizontal.

3. Es un número par.

5. Es el cuadrado perfecto de 4-vertical.

Vertical:

1. La suma de las cifras es igual a quince.

2. Cada cifra es superior a la anterior en dos unidades.

4. La segunda cifra es mayor que la primera.

(Daremos la solución de este crucigrama numérico a final de mes, a no ser que alguien se adelante resolviéndolo)

Fuente: Jean-Pierre Alem; Nuevos juegos de ingenio y entretenimiento matemático.

Una misteriosa suma (acertijo matemático para septiembre)

Se trata de sustituir las letras por dígitos en la siguiente suma, de manera que ésta se cumpla:

.                                                          X M A

.                                                       +  X X A

.                                                          M X X

(A igual letra le corresponde igual dígito).

Fuente: Juegos para devanarse los sesos; Eric Emmet.

(Daremos la solución a través de un comentario en esta publicación a final de mes)

Un acertijo para cazadores

Antonio participa en la inauguración de la temporada de caza en compañía de sus sobrinos Berto y Carlos. Disparan sobre faisanes, liebres y perdices. No son tiradores muy notables: el análisis del número de tiros disparados (61 en total) muestra que Antonio necesita 4 tiros para abatir un faisán, 8 para abatir una liebre y 4 para abatir una perdiz; Berto necesita 4 tiros para matar un faisán, 2 para matar una liebre y 3 para matar una perdiz; Carlos necesita 4 tiros para un faisán, 4 para una liebre y 8 para una perdiz (de manera que cada cazador cobró por lo menos una pieza de cada clase). El cuadro final es de 4 faisanes, 4 liebres y 4 perdices y cada hombre tiene 4 piezas en su haber. ¿Cuál es el cuadro de caza preciso de cada cazador?

liebre

faisanperdiz(La solución se publicará en un comentario a final de mes).

Fuente: Juegos de ingenio y entretenimiento matemático; Jean-Pierre Alem.

Un fabricante de mostaza listo

Un fabricante de mostaza embala latas de 10 cm de diámetro en cajoncitos cuadrados de 80 cm de lado.

Como un estudio de mercado le indicó que esas latas eran demasiado grandes, el fabricante decide reemplazarlas por otras cilíndricas, como las anteriores y de la misma altura pero de 5 cm de diámetro.

En el embalaje de las latas, el fabricante continúa utilizando las mismas cajas cuadradas de 80 cm de lado.

Las cajas de latas pequeñas, ¿contendrán más o menos mostaza que las anteriores cajas llenas de latas grandes?

(No se tendrá en cuenta el espesor de las paredes de las latas).

Fuente: Juegos de ingenio y entretenimiento matemático; Jean-Pierre Alem.

mostazapasofinal

Para saber algo más sobre mostaza, recomiendo visitar el siguiente enlace:

http://www.cocina33.com/noticia/la-mostaza

(La solución al acertijo se publicará como comentario a final de mes).

Cantinflas lo habría explicado así

Cuando Juan era un año más joven de lo que era Pedro cuando Antonio tenía la mitad de los años que Pedro tendrá dentro de tres años, Antonio tenía el doble de los años que Pedro tenía cuando Antonio tenía un tercio de la edad que Juan tenía hace tres años. Pero cuando Pedro tenía el doble de la edad de Juan, Antonio tenía 1/4 de la edad que Pedro tenía hace un año.

Además Juan superó el medio siglo no hace muchos años. ¿Cuáles son las edades de los tres?

Fuente: En busca de la solución; Mariano Mataix.

canfinflas

Triángulo antirrectángulo

images

Un triángulo rectángulo viene definido porque la suma de dos de sus ángulos vale 90 grados. Ahora, caprichosamente, definimos un triángulo antirrectángulo como aquel en el que la diferencia de dos de sus ángulos es de 90 grados. El problema consiste en hallar los tres lados de un triángulo de este tipo, sabiendo que todos ellos son números naturales y su suma es igual, numéricamente, a la superficie del triángulo.

Fuente: En busca de la solución; Mariano Mataix.

Repartiendo el botín (acertijo-problema matemático)

Tras recoger 770 castañas, tres niñas las dividieron de modo que las cantidades recibidas guardaran la misma proporción que sus edades. Cada vez que Marta se quedaba con cuatro castañas, Noelia tomaba tres, y por cada seis que recibía Marta, Susana tomaba siete. ¿Cuántas castañas recibió cada niña? ¿Podrías averiguar las edades de las niñas?images

Fuente: Nuevos acertijos de Sam Loyd.

De Calahorra a Burgos (acertijo-problema matemático)

La etapa de hoy, día 11 de septiembre, de la vuelta ciclista a España entre Calahorra y Burgos está marcada con un recorrido de 189 kilómetros. Esto me ha recordado un acertijo matemático que leí en un libro titulado «Nuevos acertijos de Sam Loyd», que adaptaré a estas dos ciudades, pues el original habla de Inverness y Glasgow, que distan 189 millas, realizando los recorridos en tren y diligencia.

cala bur

«Dicen que hace algún tiempo, dos antiguos amigos oriundos de las ciudades nombradas en el título, realizaron un curioso experimento. Resulta que ambos amigos salieron de sus respectivas ciudades, distantes 189 kilómetros, exactamente a la misma hora: partió el burgalés montado en un burro y el calagurritano salió con su bicicleta, pues usando este medio de transporte, el viaje completo duraba doce horas menos que montado en el pollino. Cuando se encontraron en el camino, la distancia que les separaba de Calahorra excedía a la que les separaba de Burgos en un número de kilómetros exactamente igual al número de horas que llevaban de viaje».

¿A qué distancia de Burgos se hallaban cuando los dos amigos coincidieron en el trayecto?