Un monstruo marino

Un espanto, algo jamás visto,

fue pescado ayer por un chico listo.

El monstruo, enorme, robusto y feo

tan sólo de cabeza tenía tres metros.

Era el cuerpo de esa gran cosa

el doble de la cabeza más media cola.

Sin ser renacuajo ni paramecio,

del largo total, la cola era un tercio.

Si ahora el chico listo fuera usted,

¿sabría la extensión del extraño pez?

Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador)

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Una operación quemante

Cada letra de esta operación representa a un dígito diferente.

QUEMAR · 6 = MARQUE · 7

¿Qué número debemos “quemar”?

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Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador).

El hombre que conocía el infinito

imagesPelícula que narra la vida matemática del genio Ramanujan. La cita inicial de Bertrand Russell es muy descriptiva de lo que será el filme en su conjunto, así como de las propias contribuciones al universo matemático de este personaje hindú: “Las matemáticas, bien vistas, no solo poseen la verdad, sino una belleza suprema”.

Tras una introducción que refleja el origen pobre y paria de un Ramanujan que busca contactar con alguien que comprenda sus trabajos matemáticos, entra en escena Harold Hardy, quien, tras recibir una carta de nuestro protagonista, consigue que éste viaje a Inglaterra y entre en el Trinity College como estudiante, buscando que Ramanujan consiga demostrar de una manera formal sus intuitivas fórmulas matemáticas. El entorno histórico sucede durante la I Guerra Mundial, hecho que, de una forma u otra, influirá en la vida de Ramanujan (de hecho, hay una escena donde es atacado por unos soldados ingleses que me enervó sobremanera). Una constante suele surgir siempre: la estupidez humana promedio frente al placer y la belleza de la sabiduría.

La película refleja, entre otras ideas interesantes, la dicotomía entre costumbre y razón, el amor por las matemáticas, la desconfianza típica inglesa (cómo ha de romper con el ambiente clasicista del Trinity para que sus ideas sean aceptadas en su justa medida) o los horrores de una guerra tan alejada de las pretensiones idealistas de los científicos y matemáticos.

descargaMatemáticamente, en la película se hace un repaso de algunas de sus contribuciones, incluyendo la conocida anécdota respecto al número 1729, que es el entero más pequeño que puede descomponerse de dos formas distintas como la suma de dos cubos. También se hace hincapié en el carácter mágico del personaje, que se sale de la norma de la demostración matemática formal, basando gran parte de su trabajo en la intuición y colocando la belleza de su formulación por encima del rigor que ha de acompañar todo trabajo científico (quedando claramente establecida esa confrontación ideológica oriente – occidente).

Es evidente lo tremendamente difícil que es alcanzar el Olimpo Matemático que, en ocasiones, viene acompañado de la tragedia vital.

En realidad, una película muy digna y emocionante, apta para todos los públicos, les gusten o no las matemáticas.

Más información (Gaussianos):

Srinivasa Aiyangar Ramanujan

Midiendo el mundo

midiendoFilme que narra la vida y obra de dos personajes con caracteres muy diferenciados, pero que compartieron época vital: Carl Friedrich Gauss y Alexander von Humboldt. La película va contando, de forma entremezclada, la historia de estos dos científicos, humanistas o espíritus curiosos y libres. Al principio, no queda clara la relación entre las dos historias, que parecen realmente pertenecientes a dos películas distintas; de hecho, llegué a pensar, durante el visionado, que había algún tipo de error en el material cinematográfico que tenía entre manos. Esto se mantiene hasta el final, cuando emerge clara la relación (aunque lo curioso es la reacción de cada uno de los dos hombres a la situación final).

gauss_8Carl Friedrich Gauss, apodado el príncipe de las matemáticas, contribuyó, entre muchísimos otros descubrimientos, con su conocida campana para distribuciones normales de probabilidad, su método de resolución de sistemas de ecuaciones o sus investigaciones con los números complejos.

humboldtAlexander von Humboldt, un verdadero ilustrado, trabajó en campos tan dispares como la geología, la astronomía o la botánica, realizando grandes viajes de exploración por América del sur y Asia, aventuras en las que se centra la presente película.

Hay una escena que quise comentar con mi dentista que, aparte del pequeño humor que contiene, nos hace ver cómo ha avanzado la ciencia médica en un par de siglos.

gauss1Aunque inicialmente me interesé por la película debido a mi oficio como profesor de matemáticas, no está indicada para cursos de primer o segundo ciclo de la ESO, ya que contiene algunas escenas un poco subidas de tono, pero sí que podría proyectarse en clases de 2º de Bachillerato, donde se espera una mayor madurez y sentido crítico del alumnado. No obstante, son dos horas de buen entretenimiento, bonitos paisajes, anécdotas divertidas de los personajes y un gusto cultural muy apetecible.images

Conclusión: si no mereciera la pena ver esta película germana del año 2012 basada en la novela de Daniel Kehlmann, dirigida por Detlev Buck y protagonizada por Florian David Fitz y Albretch Schuch, desde luego no habría escrito sobre ella.

Biografías:

Carl Friedrich Gauss

Alexander von Humboldt

Dos hermanos y un primo (acertijo para invierno)

-¡Qué sorpresa, Samuel, no sabía que tenías un hermano! ¿Cuántos años os lleváis?

-Para decirlo simplemente: la diferencia entre los cuadrados de nuestras edades es un número primo.

¿Cuántos años de diferencia se llevan Samuel y su hermano?

Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik

Tengo un número (I, II y III) (acertijos para otoño)

I: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 9 sólo necesito agregarle un 0.

¿Cuál es mi número?

II: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 7 sólo necesito agregarle un 0.

¿Cuál es mi número?

III: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 6 sólo necesito agregarle un 0.

¿Cuál es mi número?

Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik

El hombre que disparaba (acertijo para verano)

Johnny Cash vio su cara clavada en un árbol del camino. Hacía ya muchos años (¿cuántos años, Johnny?) que no se miraba a sí mismo. Cuando estuvo más cerca pudo descifrar la leyenda: <<SE BUSCA VIVO O MUERTO>>. Y debajo del grabado de su rostro, leyó: <<RECOMPENSA:…DÓLARES>>.

Era una cantidad formada por tres cifras, castigadas por los fuertes vientos y las duras lluvias de Alabama. Johnny desenfundó su colt con desgana y descerrajó una bala sobre la primera cifra (la de las centenas).

Había dividido su precio por cinco.

-¡Alabado sea el Señor! -exclamó la bella hija del doctor que había estado sentada al otro lado del árbol resolviendo las tareas de aritmética.

Johnny se sonrojó, amartilló y volvió a hacer sonar su colt, borrando con esta bala otra cifra (la de las decenas).

Había vuelto a dividir su precio por cinco.

-¡Usted es un auténtico genio para los números! -se exaltó la jovencita.

-¡Tontuela! -comentó Johnny para sus adentros. Espoleó el caballo y nunca más volvió.

Si usted fuera un empobrecido cazador de recompensas, ¿sabría deducir cuántos dólares se ofrecían por la captura de Johnny Cash?

Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik

Mezclando el té (acertijo-problema matemático para primavera)

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– Esta mañana llamó la señora Quejumbre -le dijo el honesto tendero a su asistente-. Quiere 20 libras de té a 28 1/2 peniques la libra. Desde luego tenemos un buen té de 30 peniques, un té un poco inferior de 27 peniques y un té indio barato de 21 peniques, pero ella siempre se fija mucho en el precio.

– ¿Qué piensa hacer? -preguntó el cándido asistente.

– ¿Hacer? -exclamó el tendero-, Pues simplemente mezclaremos las tres clases de té en proporciones diferentes para que las veinte libras le permitan efectuar su compra. Pero no pongas más cantidad del mejor té de la que sea necesaria, y usa sólo nuestros paquetes completos de libra. No peses el té.

¿Cómo haría el pobre asistente para mezclar las tres clases de té? ¿Habría usted podido indicarle?

Fuente: Los gatos del hechicero (Diversiones matemáticas II); Henry E. Dudeney.

17 Ecuaciones que cambiaron el mundo

17 Ecuaciones que cambiaron el mundo

Leptonix

El matemático y científico Ian Stewart ha elaborado una lista con las 17 ecuaciones que, a su juicio, han cambiado el mundo. En la lista están desde las que revelan regularidades matemáticas hasta las que expresan leyes de la naturaleza.

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Los 4 cuatros

Un libro del que ya he hablado en este blog y que considero bastante educativo es “El hombre que calculaba”. En sus páginas ofrece una gran variedad de acertijos y juegos de índole matemática, introducidos y narrados al estilo de un cuento árabe, lo que le convierte en un libro muy entretenido.

Uno de los acertijos que me llamó la atención durante una de sus lecturas (lo he utilizado a veces en clase con el alumnado), es el caso de los cuatro cuatros. Se plantea la obtención de cualquier número natural utilizando 4 cuatros en la manera que sea conveniente (colocación y operaciones). Lo cierto es que se pueden conseguir bastantes números usando 4 cuatros pero, ¿se podrá obtener cualquiera de ellos?

La historia está narrada de la siguiente manera:

“Beremiz se sintió atraído por un elegante y delicado turbante azul claro que ofrecía un sirio medio corcovado por 4 dinares. La tienda de este mercader era además muy original, pues todo allí -turbantes, cajas, puñales, pulseras, etc,- era vendido a 4 dinares. Había un letrero que decía con vistosas letras:

∼ LOS CUATRO CUATROS ∼

Al ver que Beremiz estaba interesado en comprar el turbante, le dije:

– Creo que ese lujo es una locura. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la hostería.

– No me interesa el turbante -respondió Beremiz-. Fíjate en que esta tienda se llama “los cuatro cuatros”. Es una coincidencia digna de la mayor atención.

– ¿Coincidencia? ¿Por qué?

– La escritura de ese cartel recuerda una de las maravillas del Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera…

Antes de que le preguntara sobre el enigma, Beremiz explicó mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:

– ¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir: 44 – 44. Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual a cero.

Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44/44. Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y este cociente es 1.

¿Quieres ver ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los cuatro cuatros y escribir: 4/4 + 4/4. La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es más fácil. Basta escribir la expresión: (4 + 4 + 4)/4. Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.

– ¿Y cómo vas a formar el número 4? -le pregunté.

– Nada más sencillo -explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de varias maneras. He ahí una expresión equivalente a 4: 4 + (4 – 4)/4. Observa que el segundo término es nulo y que la suma 4 + 0 es igual a 4.

Observé que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.

Beremiz prosiguió:

– Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad. Escribiremos: (4·4 + 4)/4. Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.

Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante: (4 + 4)/4 + 4. Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al resultado 7: 44/4 – 4.

Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8 escrito con cuatro cuatros: 4 + 4 + 4 – 4.

El número 9 también es interesante: 4 + 4 + 4/4

Te mostraré ahora una expresión muy bella, igual a 10, formada con cuatro cuatros: (44 – 4)/4.

Aquí, el jorobado, dueño de la tienda, que había seguido las explicaciones de Beremiz con un silencio respetuoso, observó:

– Por lo que termino de oír, el señor es un eximio matemático. Si el señor es capaz de explicarme cierto enigma que hace dos años hallé en una suma, puedo obsequiarle el turbante azul que quería comprarme. Y el mercader narró la siguiente historia:…”

Fuente: El hombre que calculaba; Malba Tahan.

Una tarde de verano me dediqué a comprobar si podía obtener los 100 primeros números naturales (aunque es obvio que los hay mucho mayores o incluso enteros, racionales e irracionales), que ya no aparecen en la historia, y conseguí los que expongo a continuación:

11 = (4! + 4)/4 + 4

12 = (4 – 4/4)·4

13 = 4! – 44/4

14 = 4!/4 + 4 + 4

15 = 4·4 – 4/4

16 = 4 + 4 + 4 + 4

17 = 4·4 + 4/4

18 = (4! + 4! + 4!)/4

19 = 4! – 4 – 4/4

20 = (4 + 4/4)·4

21 = 4! – 4 + 4/4

22 = 4! – (4 + 4)/4

23 = (4·4! – 4)/4

24 = 4·4 + 4 + 4

25 = (4·4! + 4)/4

26 = 4! + (4 + 4)/4

27 = 4! + 4 – 4/4

28 = 44 – 4·4

29 = 4! + 4 + 4/4

30 = (4 + 4/4)!/4

31 = 4! + (4! + 4)/4

32 = 4·4 + 4·4

33 =

34 = 4! + 4!/4 + 4

35 = 4! + 44/4

36 = 44 – 4 – 4

37 =

38 = 44 – 4!/4

39 =

40 = 4! + 4! – 4 – 4

41 =

42 = 4! + 4! – 4!/4

43 = 44 – 4/4

44 = 44 + 4 – 4

45 = 44 + 4/4

46 = (√4)·(4! – 4/4)

47 = 4! + 4! – 4/4

48 = (4·4 – 4)·4

49 = 4! + 4! + 4/4

50 = 44 + 4!/4

51 =

52 = 44 + 4 + 4

53 =

54 = 4! + 4! + 4!/4

55 =

56 = 4! + 4·(4 + 4)

57 =

58 = (4^4 – 4!)/4

59 =

60 = 4·4·4 – 4

61 =

62 = 4·4·4 – √4

63 = (4^4 – 4)/4

64 = 4^(4 – 4/4)

65 = (4^4 + 4)/4

66 = 4·4·4 + √4

67 =

68 = (4^4)/4 + 4

69 =

70 = (4^4 + 4!)/4

71 =

72 = (4 – 4/4)·4!

73 =

74 = 4! + 4! + 4! + √4

75 =

76 = 4·(4! – 4) – 4

77 =

78 = 4·(4! – 4) – √4

79 =

80 = 4·4! – 4·4

81 = (4 – 4/4)^4

82 = 4·(4! – 4) + √4

83 =

84 = 4·(4! – 4) + 4

85 =

86 = 4·(4! – √4) – √4

87 =

88 = 4·4! – 4 – 4

89 =

90 = 4·4! – 4!/4

91 =

92 = 4·(4! – 4/4)

93 =

94 = 4·4! – 4/√4

95 = 4·4! – 4/4

96 = 4·4! + 4 – 4

97 = 4·4! + 4/4

98 = 4·4! + 4/√4

99 =

100 = (4! + 4/4)·4

….    ….    ….    ….

Así pues, el reto está planteado. Si alguien se anima a participar, la ronda de comentarios está abierta.

(Advertencia: la búsqueda podría resultar “infinita”)