En números romanos, estas dos operaciones -la suma y la multiplicación- son correctas. Seguirán siendo correctas si las pasamos en forma adecuada a números arábigos. Para ello debemos reemplazar cada letra por una misma cifra, y no usar una misma cifra para letras distintas.
. L I X
.+ L V I X · X = C
.________
. C X V
Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador)
Aquí me pongo a calcular
los tres dígitos de mi entero.
Arranco con el primero
y por tres lo multiplico,
al segundo, lo duplico,
y todo lo sumo al tercero.
Pido esmero al que se acerca,
que reste nueve al resultado,
lo triplique y lo dé por terminado.
Ahijuna, de aquel digno entero
ha quedado un ciento menos.
¿Cuál era pues mi número, paisano?
Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador)
Un espanto, algo jamás visto,
fue pescado ayer por un chico listo.
El monstruo, enorme, robusto y feo
tan sólo de cabeza tenía tres metros.
Era el cuerpo de esa gran cosa
el doble de la cabeza más media cola.
Sin ser renacuajo ni paramecio,
del largo total, la cola era un tercio.
Si ahora el chico listo fuera usted,
¿sabría la extensión del extraño pez?
Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador)
Cada letra de esta operación representa a un dígito diferente.
¿Qué número debemos «quemar»?
Fuente: Situaciones problemáticas; Jaime Poniachik (compilador).
-¡Qué sorpresa, Samuel, no sabía que tenías un hermano! ¿Cuántos años os lleváis?
-Para decirlo simplemente: la diferencia entre los cuadrados de nuestras edades es un número primo.
¿Cuántos años de diferencia se llevan Samuel y su hermano?
Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik
I: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 9 sólo necesito agregarle un 0.
¿Cuál es mi número?
II: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 7 sólo necesito agregarle un 0.
¿Cuál es mi número?
III: Tengo un número de dos cifras. Para multiplicarlo por 6 sólo necesito agregarle un 0.
¿Cuál es mi número?
Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik
Johnny Cash vio su cara clavada en un árbol del camino. Hacía ya muchos años (¿cuántos años, Johnny?) que no se miraba a sí mismo. Cuando estuvo más cerca pudo descifrar la leyenda: <<SE BUSCA VIVO O MUERTO>>. Y debajo del grabado de su rostro, leyó: <<RECOMPENSA:…DÓLARES>>.
Era una cantidad formada por tres cifras, castigadas por los fuertes vientos y las duras lluvias de Alabama. Johnny desenfundó su colt con desgana y descerrajó una bala sobre la primera cifra (la de las centenas).
Había dividido su precio por cinco.
-¡Alabado sea el Señor! -exclamó la bella hija del doctor que había estado sentada al otro lado del árbol resolviendo las tareas de aritmética.
Johnny se sonrojó, amartilló y volvió a hacer sonar su colt, borrando con esta bala otra cifra (la de las decenas).
Había vuelto a dividir su precio por cinco.
-¡Usted es un auténtico genio para los números! -se exaltó la jovencita.
-¡Tontuela! -comentó Johnny para sus adentros. Espoleó el caballo y nunca más volvió.
Si usted fuera un empobrecido cazador de recompensas, ¿sabría deducir cuántos dólares se ofrecían por la captura de Johnny Cash?
Fuente: Cómo jugar y divertirse con su inteligencia; Jaime y Lea Poniachik
– Esta mañana llamó la señora Quejumbre -le dijo el honesto tendero a su asistente-. Quiere 20 libras de té a 28 1/2 peniques la libra. Desde luego tenemos un buen té de 30 peniques, un té un poco inferior de 27 peniques y un té indio barato de 21 peniques, pero ella siempre se fija mucho en el precio.
– ¿Qué piensa hacer? -preguntó el cándido asistente.
– ¿Hacer? -exclamó el tendero-, Pues simplemente mezclaremos las tres clases de té en proporciones diferentes para que las veinte libras le permitan efectuar su compra. Pero no pongas más cantidad del mejor té de la que sea necesaria, y usa sólo nuestros paquetes completos de libra. No peses el té.
¿Cómo haría el pobre asistente para mezclar las tres clases de té? ¿Habría usted podido indicarle?
Fuente: Los gatos del hechicero (Diversiones matemáticas II); Henry E. Dudeney.
Un libro del que ya he hablado en este blog y que considero bastante educativo es «El hombre que calculaba». En sus páginas ofrece una gran variedad de acertijos y juegos de índole matemática, introducidos y narrados al estilo de un cuento árabe, lo que le convierte en un libro muy entretenido.
Uno de los acertijos que me llamó la atención durante una de sus lecturas (lo he utilizado a veces en clase con el alumnado), es el caso de los cuatro cuatros. Se plantea la obtención de cualquier número natural utilizando 4 cuatros en la manera que sea conveniente (colocación y operaciones). Lo cierto es que se pueden conseguir bastantes números usando 4 cuatros pero, ¿se podrá obtener cualquiera de ellos?
La historia está narrada de la siguiente manera:
«Beremiz se sintió atraído por un elegante y delicado turbante azul claro que ofrecía un sirio medio corcovado por 4 dinares. La tienda de este mercader era además muy original, pues todo allí -turbantes, cajas, puñales, pulseras, etc,- era vendido a 4 dinares. Había un letrero que decía con vistosas letras:
Al ver que Beremiz estaba interesado en comprar el turbante, le dije:
– Creo que ese lujo es una locura. Tenemos poco dinero, y aún no pagamos la hostería.
– No me interesa el turbante -respondió Beremiz-. Fíjate en que esta tienda se llama «los cuatro cuatros». Es una coincidencia digna de la mayor atención.
– ¿Coincidencia? ¿Por qué?
– La escritura de ese cartel recuerda una de las maravillas del Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar un número cualquiera…
Antes de que le preguntara sobre el enigma, Beremiz explicó mientras escribía en la arena fina que cubría el suelo:
– ¿Quieres formar el cero? Pues nada más sencillo. Basta escribir: 44 – 44. Ahí tienes los cuatro cuatros formando una expresión que es igual a cero.
Pasemos al número 1. Esta es la forma más cómoda: 44/44. Esta fracción representa el cociente de la división de 44 por 44. Y este cociente es 1.
¿Quieres ver ahora el número 2? Se pueden utilizar fácilmente los cuatro cuatros y escribir: 4/4 + 4/4. La suma de las dos fracciones es exactamente igual a 2. El tres es más fácil. Basta escribir la expresión: (4 + 4 + 4)/4. Fíjate en que la suma es doce; dividida por cuatro da un cociente de 3. Así pues, el tres también se forma con cuatro cuatros.
– ¿Y cómo vas a formar el número 4? -le pregunté.
– Nada más sencillo -explicó Beremiz-; el 4 puede formarse de varias maneras. He ahí una expresión equivalente a 4: 4 + (4 – 4)/4. Observa que el segundo término es nulo y que la suma 4 + 0 es igual a 4.
Observé que el mercader sirio escuchaba atento, sin perder palabra, la explicación de Beremiz, como si le interesaran mucho aquellas expresiones aritméticas formadas por cuatro cuatros.
Beremiz prosiguió:
– Quiero formar por ejemplo el número 5. No hay dificultad. Escribiremos: (4·4 + 4)/4. Esta fracción expresa la división de 20 por 4. Y el cociente es 5. De este modo tenemos el 5 escrito con cuatro cuatros.
Pasemos ahora al 6, que presenta una forma muy elegante: (4 + 4)/4 + 4. Una pequeña alteración en este interesante conjunto lleva al resultado 7: 44/4 – 4.
Es muy sencilla la forma que puede adoptarse para el número 8 escrito con cuatro cuatros: 4 + 4 + 4 – 4.
El número 9 también es interesante: 4 + 4 + 4/4
Te mostraré ahora una expresión muy bella, igual a 10, formada con cuatro cuatros: (44 – 4)/4.
Aquí, el jorobado, dueño de la tienda, que había seguido las explicaciones de Beremiz con un silencio respetuoso, observó:
– Por lo que termino de oír, el señor es un eximio matemático. Si el señor es capaz de explicarme cierto enigma que hace dos años hallé en una suma, puedo obsequiarle el turbante azul que quería comprarme. Y el mercader narró la siguiente historia:…»
Fuente: El hombre que calculaba; Malba Tahan.
Una tarde de verano me dediqué a comprobar si podía obtener los 100 primeros números naturales (aunque es obvio que los hay mucho mayores o incluso enteros, racionales e irracionales), que ya no aparecen en la historia, y conseguí los que expongo a continuación:
11 = (4! + 4)/4 + 4
12 = (4 – 4/4)·4
13 = 4! – 44/4
14 = 4!/4 + 4 + 4
15 = 4·4 – 4/4
16 = 4 + 4 + 4 + 4
17 = 4·4 + 4/4
18 = (4! + 4! + 4!)/4
19 = 4! – 4 – 4/4
20 = (4 + 4/4)·4
21 = 4! – 4 + 4/4
22 = 4! – (4 + 4)/4
23 = (4·4! – 4)/4
24 = 4·4 + 4 + 4
25 = (4·4! + 4)/4
26 = 4! + (4 + 4)/4
27 = 4! + 4 – 4/4
28 = 44 – 4·4
29 = 4! + 4 + 4/4
30 = (4 + 4/4)!/4
31 = 4! + (4! + 4)/4
32 = 4·4 + 4·4
33 =
34 = 4! + 4!/4 + 4
35 = 4! + 44/4
36 = 44 – 4 – 4
37 =
38 = 44 – 4!/4
39 =
40 = 4! + 4! – 4 – 4
41 =
42 = 4! + 4! – 4!/4
43 = 44 – 4/4
44 = 44 + 4 – 4
45 = 44 + 4/4
46 = (√4)·(4! – 4/4)
47 = 4! + 4! – 4/4
48 = (4·4 – 4)·4
49 = 4! + 4! + 4/4
50 = 44 + 4!/4
51 =
52 = 44 + 4 + 4
53 =
54 = 4! + 4! + 4!/4
55 =
56 = 4! + 4·(4 + 4)
57 =
58 = (4^4 – 4!)/4
59 =
60 = 4·4·4 – 4
61 =
62 = 4·4·4 – √4
63 = (4^4 – 4)/4
64 = 4^(4 – 4/4)
65 = (4^4 + 4)/4
66 = 4·4·4 + √4
67 =
68 = (4^4)/4 + 4
69 =
70 = (4^4 + 4!)/4
71 =
72 = (4 – 4/4)·4!
73 =
74 = 4! + 4! + 4! + √4
75 =
76 = 4·(4! – 4) – 4
77 =
78 = 4·(4! – 4) – √4
79 =
80 = 4·4! – 4·4
81 = (4 – 4/4)^4
82 = 4·(4! – 4) + √4
83 =
84 = 4·(4! – 4) + 4
85 =
86 = 4·(4! – √4) – √4
87 =
88 = 4·4! – 4 – 4
89 =
90 = 4·4! – 4!/4
91 =
92 = 4·(4! – 4/4)
93 =
94 = 4·4! – 4/√4
95 = 4·4! – 4/4
96 = 4·4! + 4 – 4
97 = 4·4! + 4/4
98 = 4·4! + 4/√4
99 =
100 = (4! + 4/4)·4
…. …. …. ….
Así pues, el reto está planteado. Si alguien se anima a participar, la ronda de comentarios está abierta.
(Advertencia: la búsqueda podría resultar «infinita»)
Se trata de rellenar cada casilla con una cifra, no habiendo ceros en el crucigrama.
1. Es un factor de 5-horizontal.
3. Es un número par.
5. Es el cuadrado perfecto de 4-vertical.
1. La suma de las cifras es igual a quince.
2. Cada cifra es superior a la anterior en dos unidades.
4. La segunda cifra es mayor que la primera.
(Daremos la solución de este crucigrama numérico a final de mes, a no ser que alguien se adelante resolviéndolo)
Fuente: Jean-Pierre Alem; Nuevos juegos de ingenio y entretenimiento matemático.
Blog Ecléctico de Antolo Mágico 