Triángulo antirrectángulo

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Un triángulo rectángulo viene definido porque la suma de dos de sus ángulos vale 90 grados. Ahora, caprichosamente, definimos un triángulo antirrectángulo como aquel en el que la diferencia de dos de sus ángulos es de 90 grados. El problema consiste en hallar los tres lados de un triángulo de este tipo, sabiendo que todos ellos son números naturales y su suma es igual, numéricamente, a la superficie del triángulo.

Fuente: En busca de la solución; Mariano Mataix.

Un pensamiento en “Triángulo antirrectángulo

  1. Problema difícl éste, es hora de pasar a explicar cómo he logrado una solución (que parece ser la única).
    Definimos un tríángulo de lados a, b y c, siendo a el más largo y b lo colocaremos en posición horizontal. Ampliaremos éste triángulo sobre el lado b una cantidad m, hasta que podamos trazar una perpendicular a b por donde se unen los lados a y c, es decir, obtenemos un triángulo rectángulo de base b+m, altura h e hipotenusa a. El ángulo A formado por b y c debe ser, por definición en el problema G+90º, siendo G el ángulo formado por a y b. Llamemos F al ángulo que completa a A hasta 180º, es decir, el formado por m y c. Trabajando con éstos ángulos llegamos a que G+F=90º y escribimos cosF=m/c, cosG=(m+b)/a, senF=h/c, senG=h/a. Por tanto, cos(F+G)=cos90º=0=cosFcosG-senFsenG, así llegamos a: m(m+b)=h^2 (ECUACIÓN 1). Vamos a definir nuestro triángulo rectángulo como un triángulo pitagórico de hipotenusa a=5x, b+m=4x y h=3x, siendo x una cantidad desconocida que debemos hallar. Introduciendo en la ECUACIÓN 1 los valores para m=4x-b, m+b=4x y h=3x, llegamos a 7x=4b, que, de tener soluciones enteras, la más simple es x=4 y b=7. Del hecho de que el perímetro debe ser igual al área de nuestro triángulo original obtenemos esta ECUACIÓN 2: a+b+c=bh/2, donde sustituimos a=5x, b=7 y h=12, obteniendo c=15. Por último, obviamente a=5x, a=20. Por tanto, resumimos a=20, b=7, c=15.

    Probé a resolver este problema utilizando otro conocido triángulo pitagórico, que sería a=13x, b+m=12x y h=5x, pero no conseguí ninguna solución válida, lo cual me extrañó. Utilizando un programa de ordenador (Mathematica), exploré en busca de soluciones que no he logrado hallar. A continuación dejo el código y la solución encontrada por el programa:

    TableForm[Table[Solve[{a^2==b^2+c^2,
    m b-c^2==0,
    a+d+n==c n/2,
    d^2==c^2+m^2,
    m+n==b,
    c (2 m+n)==a d,
    c == i}, {a, d, n}, Integers], {i, 1, 20}]]

    {{a -> ConditionalExpression[20, b == 16 && c == 12 && m == 9]},
    {d -> ConditionalExpression[15, b == 16 && c == 12 && m == 9]},
    {n -> ConditionalExpression[7, b == 16 && c == 12 && m == 9]}}.

    (He cambiado un poco la notación: tras el Solve, la primera ecuación es el Teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo mayor, la segunda ecuación es la equivalente a ECUACIÓN 1, la tercera es la condición de Perímetro=Área, la cuarta es el Teorema de Pitágoras para el triángulo rectángulo menor, la quinta ecuación hace referencia a que la base del triángulo rectángulo mayor está formada por dos tramos y la última, en principio redundante, es obtenida a partir de sen(F+G)=sen90º=1).

    Deseo que los lectores y posibles resolutores de este problema hayan tenido momentos de entretenimiento. Como favor, si alguien encuentra alguna otra solución, le agradecería su exposición como comentario en esta publicación.

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